Explicación:

Sabemos que:

$\int \mathrm{u\; du}=\frac{u^{\mathrm{n+1}}}{\mathrm{n+1}}$
Realizando nos da igual a:

$\mathrm{f(x)\; =\; 10}{x}^7\mathrm{+\; k}$
Recuerda que f( 3 ) = 21879 , por lo que resolvemos para k:

$\mathrm{k\; =\; 21879\; -\; 10}{\mathrm{(3)}}^7$
Lo que nos da que k = 9

$\mathrm{f(x)\; =\; 10}{x}^7\mathrm{+\; 9}$

Explicación:

Haciendo:
$\mathrm{u\; =\; 14x\; +\; 89}$
Aplicando la regla de la cadena para la función exponencial:
$D_x[a^u\mathrm{]\; =\; ln\; a\; ·}{a}^u·D_x\mathrm{[\; u\; ]}$
Y sustituyendo
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; (ln\; 16)}{\mathrm{16}}^{\mathrm{(14x\; +\; 89)}}{D}_x\mathrm{[14x\; +\; 89])}$
Esto es, derivando y acomodando:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; 14\; (ln\; 16)}{\mathrm{16}}^{\mathrm{(14x\; +\; 89)}}$

Explicación:

Para determinar la velocidad final de un móvil en caída libre, la fórmula que se debe usar es:

Vf = gt, donde g = 9.81 m/s².
Remplazando los valores que tenemos

VF = 9.81 (m/seg²) x 10.48 (seg) = 102.81 m/s
Entonces, la velocidad final de la piedra es de

102.81 m/s

Explicación:

Utilizando la regla la derivada de una funcion lineal nos da:

$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; \$2a\$x}$

Explicación:

Podemos empezar aplicando la regla 5, que nos separa la expresión en:
$D_x\mathrm{[\; -11x\; ]\; -}{D}_x\mathrm{[\; 52\; ]}$
Para la primera parte, usamos la regla 4 para que nos quede:
$\mathrm{-11}{D}_x\mathrm{[\; x\; ]}$
Y de aquí usamos la regla 2
$D_x\mathrm{[\; x\; ]\; =\; 1}$
Para la segunda parte, usamos la regla 1
$D_x\mathrm{[\; 52\; ]\; =\; 0}$
y entonces el resultado es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -11\; (\; 1\; )\; -\; 0}$
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -11}$

Explicación:

Sabemos que:

$\int \mathrm{u\; du}=\frac{u^{\mathrm{n+1}}}{\mathrm{n+1}}$
Realizando nos da igual a:

$\mathrm{f(x)\; =\; 11}{x}^9\mathrm{+\; k}$
Recuerda que f( 2 ) = 5642 , por lo que resolvemos para k:

$\mathrm{k\; =\; 5642\; -\; 11}{\mathrm{(2)}}^9$
Lo que nos da que k = 10

$\mathrm{f(x)\; =\; 11}{x}^9\mathrm{+\; 10}$

Explicación:

Haciendo:
$\mathrm{u\; =\; 18}{x}^2\mathrm{+\; 83}$
Aplicando la regla de la cadena para la función logaritmo natural:
$D_x\mathrm{[\; ln\; u\; ]\; =}\frac{D_x\mathrm{[\; u\; ]}}{u}$
Y sustituyendo:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =}\frac{D_x\mathrm{[18}{x}^2\mathrm{+83]}}{\mathrm{(18}{x}^2\mathrm{+83)}}$
Esto es, derivando:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =}\frac{\mathrm{36x}}{\mathrm{(18}{x}^2\mathrm{+83)}}$

Explicación:

Haciendo:
$\mathrm{u\; =\; -14x\; +\; 4}$
Aplicando la regla de la cadena para la función exponencial:

Y sustituyendo
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =}{e}^{\mathrm{(\; -14x\; +\; 4\; )}}(D_x\mathrm{[-14x\; +\; 4])}$
Esto es, derivando y acomodando:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -14}{e}^{\mathrm{(\; -14x\; +\; 4\; )}}$

Explicación:

Realizandola por partes, nos queda como:

∫ 38x¹⁹ dx + ∫ 20x¹⁰ dx + ∫ 11 dx
Realizando cada integral nos queda:

∫ 38x¹⁹11dx = 2x²⁰

∫ 20 e^20x dx = e^20x

∫ 11 dx = 11x
Sumamos los resultados, ordenamos:

2x²⁰ + e^20x + 11x
Hacemos k como la suma de los ?x de las integrales

2x²⁰ + e^20x + 11x + k

Explicación:

Utilizando la regla la derivada de una funcion lineal nos da:

$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; \$2a\$x}$