Explicación:

Se puede apreciar que mientras la variable x se aproxima cada vez más a 3 por la derecha, los valores
de sus imágenes f(x) se aproximan a 44:
Entonces,
$\underset{\mathrm{x\to }{3}^{+}}{\lim }?\mathrm{f(x)}\mathrm{=\; 44}$

Explicación:

Resolviendola por sustitución, sea:

u = x² + 3
Su diferencial es:

du = 2x dx
Entonces:
du / 2 = x dx
Sustituyendo los términos encontrados nos queda una integral de la forma:

∫ 81 u⁸ du
Resolviendo nos da:

f(u) = 9u⁹ + k
Lo que es igual a:

f(x) = 9(x² + 3)⁹ + k

Explicación:

Realizandola por partes, nos queda como:

∫ 38x¹⁹ dx + ∫ 20x¹⁰ dx + ∫ 11 dx
Realizando cada integral nos queda:

∫ 38x¹⁹11dx = 2x²⁰

∫ 20 e^20x dx = e^20x

∫ 11 dx = 11x
Sumamos los resultados, ordenamos:

2x²⁰ + e^20x + 11x
Hacemos k como la suma de los ?x de las integrales

2x²⁰ + e^20x + 11x + k

Explicación:

Aplicando la regla D_X [ k u ] = k D_X [ u ], nos queda la expresión:

$3D_x[x^{\mathrm{-3}}]$
Y luego, usando la regla D_X [ x ⁿ ] = n x ^{n - 1}, obtenemos:

$3({\mathrm{-3x}}^{\mathrm{-3-1}})$
Entonces, la respuesta es:

$\mathrm{f\text{'}(x)=-9}{x}^{\mathrm{-4}}$

Explicación:

Sabemos que:

$\int \mathrm{u\; du}=\frac{u^{\mathrm{n+1}}}{\mathrm{n+1}}$
Realizando nos da igual a:

$\mathrm{f(x)\; =\; 11}{x}^9\mathrm{+\; k}$
Recuerda que f( 2 ) = 5642 , por lo que resolvemos para k:

$\mathrm{k\; =\; 5642\; -\; 11}{\mathrm{(2)}}^9$
Lo que nos da que k = 10

$\mathrm{f(x)\; =\; 11}{x}^9\mathrm{+\; 10}$

Explicación:

Resolviendo por partes:

∫ 12x¹¹ = x¹² + ?x

∫ 6x⁵ = x⁶ + ?x
Sumando y ordenando obtenemos que:

f(x) = x¹² + x⁶ + ?x
O bien:

f(x) = x¹² + x⁶ + k

Explicación:

Aplicando la regla 5 y la regla 4 simultáneamente, separamos el polinomio:
$\mathrm{(2)}{D}_x[x^9\mathrm{]\; -\; (10)}{D}_x[x^5\mathrm{]\; +\; (6)}{D}_x[x^3\mathrm{]\; -\; (5)}{D}_x\mathrm{[\; x\; ]\; +}{D}_x\mathrm{[\; 2\; ]}$
Y luego, usando las reglas 3, 2 y 1 obtenemos:
$\mathrm{(2)(9)(}{x}^{\mathrm{9-1}}\mathrm{)\; -\; (10)(5)(}{x}^{\mathrm{5-1}}\mathrm{)\; +\; (6)\; (3)(}{x}^{\mathrm{3-1}}\mathrm{)\; -\; (5)(1)\; +\; 0}$
Entonces, la respuesta es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; 18}{x}^8\mathrm{-\; 50}{x}^4\mathrm{+\; 18}{x}^2\mathrm{-\; 5}$

Explicación:

Utilizamos:

[1,46]∑ 20n + n = [1,46] ∑ 20n + [1,46] ∑ n
Realizando la primera suma:

[1,46]∑ 20n = 20 ( 46 ( 46 + 1) / 2 ) ) = 21620
Realizando la segunda suma:

[1,46] ∑ n = 46 ( 46 + 1) / 2 ) = 1081
Sumando ambas nos da:

S = 22701

Explicación:

Haciendo:
$\mathrm{u\; =\; 14x\; +\; 89}$
Aplicando la regla de la cadena para la función exponencial:
$D_x[a^u\mathrm{]\; =\; ln\; a\; ·}{a}^u·D_x\mathrm{[\; u\; ]}$
Y sustituyendo
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; (ln\; 16)}{\mathrm{16}}^{\mathrm{(14x\; +\; 89)}}{D}_x\mathrm{[14x\; +\; 89])}$
Esto es, derivando y acomodando:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; 14\; (ln\; 16)}{\mathrm{16}}^{\mathrm{(14x\; +\; 89)}}$

Explicación:

Representamos los lados del rectángulo como: "x" y como "y".
Entonces su perímetro está dado por la expresión:

Como la malla tiene una longitud de 80 metros, el perímetro de nuestro rectángulo tendrá
exactamente esa medida, es decir:
$\mathrm{80\; =\; 2x\; +\; 2y}$
Despejamos "y" para dejarla en términos de "x", esto es:
$\mathrm{y\; =}\frac{\mathrm{80\; -\; 2x}}{2}$
Haciendo la división obtenemos:
$\mathrm{y\; =}\frac{\mathrm{80}}{2}\mathrm{-\; x}$
Es decir:
$\mathrm{y\; =\; 40\; -\; x}$
Ahora, el área del rectángulo está dada por:
$\mathrm{A\; =\; x\; y}$
Y sustituyendo "y" obtenemos la expresión:
$\mathrm{A(x)\; =\; x\; (40\; -\; x)}$
Multiplicando y acomodando nos da la función buscada:
$\mathrm{A(x)\; =\; -}{x}^2\mathrm{+\; 40x}$