Explicación:

Sabemos que:

$\mathrm{?x\; =}{x}_2-x_1$
Remplazando nos queda que:

$\mathrm{?x\; =\; (\; 13\; )\; -\; (\; 4\; )}$
Lo que nos da:

$\mathrm{?x\; =\; 9}$

Explicación:

Sabemos que:

$\int \mathrm{u\; du}=\frac{u^{\mathrm{n+1}}}{\mathrm{n+1}}$
Realizando nos da igual a:

$\mathrm{f(x)\; =\; 11}{x}^9\mathrm{+\; k}$
Recuerda que f( 2 ) = 5642 , por lo que resolvemos para k:

$\mathrm{k\; =\; 5642\; -\; 11}{\mathrm{(2)}}^9$
Lo que nos da que k = 10

$\mathrm{f(x)\; =\; 11}{x}^9\mathrm{+\; 10}$

Explicación:

Encontramos primero f'(x) usando las reglas que corresponden:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -42}{x}^6\mathrm{+\; 12}{x}^5\mathrm{-\; 5}$
Ahora derivamos esta expresión y obtenemos la respuesta:
$\mathrm{f\text{'}\text{'}(x)\; =\; -252}{x}^5\mathrm{+\; 60}{x}^4$

Explicación:

La tabulación completa queda de la siguiente forma:

Se puede apreciar que mientras la variable x se aproxima cada vez más a 2 por la derecha, los valores de sus imágenes f(x) se aproximan a -35, entonces:

$\underset{\mathrm{x\to }{2}^{+}}{\lim }?\mathrm{f(x)}\mathrm{=\; -35}$

Explicación:

Encontramos primero f'(x) usando las reglas que corresponden:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -\; (4)\; sen\; (4x)\; -\; 3}{e}^{\mathrm{-3x}}$
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -\; 4\; sen\; (4x)\; -\; 3}{e}^{\mathrm{-3x}}$
Ahora derivamos esta expresión y obtenemos la respuesta:
$\mathrm{f\text{'}\text{'}(x)\; =\; -\; 16\; cos\; (4x)\; +\; 9}{e}^{\mathrm{-3x}}$

Explicación:

Se puede apreciar que mientras la variable x se aproxima cada vez más a 3 por la derecha, los valores
de sus imágenes f(x) se aproximan a 44:
Entonces,
$\underset{\mathrm{x\to }{3}^{+}}{\lim }?\mathrm{f(x)}\mathrm{=\; 44}$

Explicación:

Remplazando directamente valores nos queda:

S(177) = 177 ( 177 + 1) / 2
Realizando operaciones nos da:

∑ (1,177) = 15753
ó

S(177) = 15753

Explicación:

Aplicando la regla 5 y la regla 4 simultáneamente, separamos el polinomio:
$\mathrm{(2)}{D}_x[x^9\mathrm{]\; -\; (10)}{D}_x[x^5\mathrm{]\; +\; (6)}{D}_x[x^3\mathrm{]\; -\; (5)}{D}_x\mathrm{[\; x\; ]\; +}{D}_x\mathrm{[\; 2\; ]}$
Y luego, usando las reglas 3, 2 y 1 obtenemos:
$\mathrm{(2)(9)(}{x}^{\mathrm{9-1}}\mathrm{)\; -\; (10)(5)(}{x}^{\mathrm{5-1}}\mathrm{)\; +\; (6)\; (3)(}{x}^{\mathrm{3-1}}\mathrm{)\; -\; (5)(1)\; +\; 0}$
Entonces, la respuesta es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; 18}{x}^8\mathrm{-\; 50}{x}^4\mathrm{+\; 18}{x}^2\mathrm{-\; 5}$

Explicación:

Resolviendola por sustitución, sea:

u = x² + 4
Su diferencial es:

du = 2x dx
Entonces:
du / 2 = x dx
Sustituyendo los términos encontrados nos queda una integral de la forma:

∫ 64 u⁷ du
Resolviendo nos da:

f(u) = 8u⁸ + k
Lo que es igual a:

f(x) = 8(x² + 4)⁸ + k

Explicación:

Utilizando la regla la derivada de una funcion lineal nos da:

$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; \$2a\$x}$